第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量 a和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是 a 与b 的夹角设 θ 是 a 与 b 的夹角，则 θ 的取值范围是 0 °≤ θ ≤180° 若 θ＝0°，则 a 与b 同向；若 θ＝180°，则 a 与 b 反向；若 θ＝90°，则a 与 b 垂直 2.平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量| a||b |· cos __θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b投影| a | cos __θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，| b | cos __θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b | cos__θ 的乘积3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) ；(3)(a＋b)·c＝a·c ＋ b·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b 的充要条件a·b ＝ 0 x1x2＋ y 1y2＝ 0 [疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )(3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( )(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )(5)两个向量的夹角的范围是.( )(6)若 a·b>0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b<0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×[教材衍化]1．(必修 4P108A 组 T6改编)已知 a·b＝－12，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( )1A．12 B．6 C．3 D．3解析：选 B.a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.2．(必修 4P105 例 4 改编)已知向量 a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝________．解析：因为 2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由 a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以 10＋2－k＝0，解得 k＝12.答案：123．(必修 4P106 练习 T3 改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案：－2[易错纠偏](1)没有找...
