1.3.1 单调性与最大(小)值(一)自主学习1．理解单调性的定义．2．运用单调性的定义判断函数的单调性．1．定义域为 I 的函数 f(x)的增减性：思考讨论 在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？答案 不能2．如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有( 严格的 ) 单调性 ，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间．3．设 x1，x2∈[a，b]，如果>0，则 f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则 f(x)在[a，b]上是单调递减函数．利用图象求单调区间【例 1】 求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|.分析 由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．解 (1) f(x)＝3|x|＝图象如图所示．1f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令 g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上方就得到 f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3][－1,1]．规律方法 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使 f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．变式迁移 1 写出函数 f(x)＝＋1(a≠0)的单调区间．解 f(x)＝当 a>0 时，如图①所示，∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．当 a<0 时，如图②所示．∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)． ① ②利用定义证明函数的单调性【例 2】 证明：函数 f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．分析 证明的关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．证明 设 00.2∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意 x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出...
