十大高中平面几何几何定理汇总及证明

高中平面几何定理汇总及证明1. 共边比例定理有公共边 AB 得两个三角形得顶点分别就就是Ｐ、Q,AB 与Ｐ Q 得连线交于点M,则有以下比例式成立:△ Ｐ AB 得面积：△ Q ＡＢ得面积＝PM:QM、 证明：分如下四种情况,分别作三角形高，由相似三角形可证S PA△Ｂ=(S△Ｐ A Ｍ-S P△ Ｍ B）=(S PAM/S PMB-△△１)×S PMB△＝(AM／BM－１）×S PMB△（等高底共线,面积比=底长比)同理,Ｓ△Ｑ AB=（AM/BM－1)×S△ＱＭ B所以，S PA△Ｂ/S QAB△＝S PMB/S QMB△△＝PM/QM(等高底共线,面积比＝底长比)定理得证!特别情况：当 P Ｂ∥Ａ Q 时,易知△ＰＡ B 与△QAB 得高相等,从而Ｓ△PAB=S QAB,△反之， S△ Ｐ AB=S QAB,△ 则 PB AQ∥ 。 2. 正弦定理在任意一个平面三角形中,各边与它所对角得正弦值得比相等且等于外接圆半径得2 倍”,即ａ/si ｎＡ = ｂ/ｓｉ nB =ｃ／si ｎ C = 2r=R(r 为外接圆半径,R 为直径)证明:现将△ABC，做其外接圆，设圆心为Ｏ。我们考虑∠Ｃ及其对边 AB。设Ａ B 长度为 c。若∠C 为直角,则Ａ B 就就就是⊙Ｏ得直径，即 c＝ 2r。 (特别角正弦函数值)∴ 若∠C 为锐角或钝角,过Ｂ作直径ＢＣ`交 ⊙O 于 C`,连接 C'Ａ,显然Ｂ C'= 2 ｒ=Ｒ。若∠C 为锐角，则 C＇与 C 落于Ａ B 得同侧,此时∠C'=C(∠同弧所对得圆周角相等)∴在 Rt ABC△＇中有若∠C 为钝角,则 C'与 C 落于 AB 得异侧,ＢＣ得对边为 a,此时∠Ｃ'=A,∠亦可推出 。考虑同一个三角形内得三个角及三条边,同理，分别列式可得 。3. 分角定理在△ABC 中,D 就就是边 BC 上异于 B,C 或其延长线上得一点,连结AD，则有Ｂ D/CD=(sinBAD/∠ｓ inCAD∠）＊(AB／AC)。证明:S△Ａ BD/S ACD△＝BD/CD………… (1、１)Ｓ△ABD/Ｓ△AC Ｄ＝[(1/2)×Ａ B×AD×sin∠ＢＡ D]/[（1/2) ×Ａ C×Ａ D×sinCA∠Ｄ］ ＝ （sinBA∠Ｄ/s ｉ nC∠ Ａ D） ×（ＡＢ／AC) …………(1、2)由１、1 式与１、２式得BD/C Ｄ =(sinBAD/si∠ ｎ∠ C ＡＤ ) ×( Ａ B/AC) 4. 张角定理在 △ ＡBC中 , Ｄ 就 就 是 ＢC上 得 一 点 ， 连 结AD 。 那 么sin∠BADAC+ sin∠CADAB=sin∠BACAD。证明:设∠1=BA∠Ｄ,∠２=C∠ Ａ D由分角定理，S ABD/△Ｓ△A Ｂ C＝BD/ＢＣ=(AD/Ａ C)＊(sin1/∠ｓｉ nBAC)∠→ (B Ｄ／B Ｃ)*(ｓｉｎ∠BAC/AD)=ｓ in1/AC ∠（１、...