高中数学 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学学案

1.1.7 柱、锥、台和球的体积1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式(不要求记忆公式)．2．理解柱、锥和台的体积公式的推导，并知道“祖暅原理”在解决体积问题中的重要作用．1．祖暅原理及应用(1)祖暅原理．幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在________的两个几何体，被__________的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积______．(2)祖暅原理的应用．________、________的两个柱体或锥体的体积相等．“祖暅原理”充分体现了空间与平面问题的相互转化的思想方法，这一原理是推导柱、锥、台和球的体积公式的基础和纽带．【做一做 1】已知一斜棱柱的底面积为 S，上下两底面间的距离为 h，则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为__________．2．柱、锥、台的体积其中 S′，S 分别表示上，下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径.名 称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥Sh圆锥πr2h台体棱台h(S＋＋S′)圆台πh(r2＋rr′＋r′2)柱体、锥体、台体的体积有如下关系：【做一做 2－1】在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )．A． B． C． D．【做一做 2－2】用半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是( )．A．πR3 B．πR3C．πR3 D．πR3【做一做 2－3】有一个几何体的三视图及其尺寸如图：则该几何体的体积为__________，表面积为__________．3．球的体积V 球＝________，其中 R 为球的半径．【做一做 3】充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若它的半径扩大为原来的 4 倍，那么它的体积增大到原来的( )．A．4 倍 B．8 倍 C．64 倍 D．16 倍1．割补法在空间几何中的应用剖析：试用割补法探究以下问题：(1)用割补的方法说明斜三棱柱的体积等于等底等高的三棱锥体积的三倍；(2)在斜棱柱中，我们把与侧棱垂直的截面称作斜棱柱的直截面．试说明斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积；斜棱柱的体积等于直截面的面积与侧棱长的乘积．(1)中关键在于要说明如何去找截面，为什么如图①所示的所截得的三个三棱锥的体积是相等的，这里用了这样一个结论：若一条线段与平面相交且交点是线段的中点，则这条线段的两个端点到这个平面的距离相等．如图②所示的点 A1与点 C 到截面 ABC1的距离相等．(2)如图③，从割补的过程中，我们不难发现在割补前后其斜棱...