1.2.3 空间中的垂直关系 1预习导航课程目标学习脉络1．结合实例概括出直线与平面垂直的定义，了解直线与平面垂直的性质．2．理解并记忆线面垂直的判定定理，并能用文字语言、图形语言和符号语言加以表述，学会运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题．3．记住线面垂直的有关性质，并能运用这些性质进行论证．4．了解点到平面的距离的定义．1．两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．思考 1 在平面内，如果两条直线互相垂直，那么这两条直线一定相交吗？在空间中呢？提示：在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交；而在空间中，两条直线互相垂直，则它们不一定相交．2．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交点 O 的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．(2)直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．(3)直线与平面垂直的记法：直线 l 与平面 α 垂直，交点为 P，可记为 l ⊥ α ，垂足为 P．思考 2 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，能说这条直线与这个平面垂直吗 ？这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的？提示：如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，这条直线与这个平面不一定垂直，此时该直线与这个平面可能平行，可能相交，也可能在平面内．3．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论 1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论 2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．思考 3 垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何？提示：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β．证明：如图所示，设经过直线 AA′的两个平面 γ，δ 分别与平面 α，β 相交于直线b，b′和 a，a′．因为 AA′⊥α，AA′⊥β，所以 AA′⊥a，AA′⊥a′．AA′，a，a′都在平面 δ 内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．所以 a∥a′，所以 a′∥α(线面平行的判定定理)．同理 b′∥α．又因为 a′∩b′＝A′，所以 α∥β．
