高中数学 1.2 圆的进一步认识 1.2.3 圆中比例线段知识导航学案 苏教版选修4-1-苏教版高二选修4-1数学学案

1.2.3 圆中比例线段自主整理1.相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的积_______________.2.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积_______________.3.切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的_______________.高手笔记1.相交弦定理图 1.2-70（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)定理的证明：如图 1.2-70，已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于圆内的一点 P.求证：PA·PB=PC·PD.证明：连结 AC、BD，则由圆周角定理有∠B=∠C，又 ∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA:PD=PC:PB,即 PA·PB=PC·PD.当然，连结 AD、BC 也能利用同样道理，证得同样结论.（3）由于在问题的证明中，⊙O 的弦 AB、CD 是任意的，因此，PA·PB=PC·PD 成立，表明“过定圆内一定点 P 的弦，被 P 点分成的两条线段长的积应为一个定值.”虽然过定点 P 的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点 P 的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图 1.2-71如图 1.2-71（1），考察动弦 AB，若 AB 过⊙O 的圆心 O，则 AB 为过点 P 的最长的弦，设⊙O 的半径为 R，则 PA·PB=（R-OP）（R+OP）.如图 1.2-71(2),考察过点 P 的弦中最短的弦，AB 为过⊙O 内一点 P 的直径，CD 为过点 P 且垂直于 AB 的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有 PA·PB=PC·PD=（ 21 CD）2=OC2-OP2=R2-OP2.由于⊙O 是定圆，P 为⊙O 内一定点，故⊙O 的半径 R 与 OP 的长为定值.设 OP=d，比较上述两式，其结论是一致的，即 PA·PB=（R-d）（R+d）=R2-d2，为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点 P 的位置有关，对圆内不同的点 P，一般来说，定值是不同的，即这1个定值是相对于定点 P 与定圆 O 而言的.同时，由第二图可直接得到相交弦定理的推论.“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项”，即 PC2=PD2=PA·PB.2.割线定理与切割线定理（1）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是...