直线与双曲线得位置关系与抛物线及其标准方程知识点 1:直线与双曲线得位置关系1、直线与双曲线得位置关系得推断设直线 y=kx+b,双曲线－＝1 (a>0,b>0)联立消去 y 得 Ax2+Bx+C=0(a≠0),Δ=B2 －4AC。若 A=0 即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;若 Δ>0,直线与双曲线相交,有两个交点;若 Δ=0,直线与双曲线相切,有一个交点;若 Δ<0,直线与双曲线相离,无交点;直线与双曲线有一个公共点就是直线与双曲线相切得必要不充分条件。2、弦长问题设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们得交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),且由,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2 －4ac。弦长公式:(k 为直线斜率)例题选讲:例 1:直线 l:y＝kx＋1 与双曲线 C:2x2－y2＝1 得右支交于不同得两点 A、B.求实数 k 得取值范围;解 (1) 将 直 线 l 得 方 程 y=kx+1 代 入 双 曲 线 C 得 方 程 2x2-y2=1 后 , 整 理 得 (k2-2)x2+2kx+2=0、①依题意,直线 l 与双曲线 C 得右支交于不同两点,故解得 k 得取值范围就是－22 (其中 O 为原点),求 k 得取值范围.解 (1)设双曲线 C2得方程为－＝1,则 a2＝4－1＝3,c2＝4,由 a2＋b2＝c2,得 b2＝1,故 C2得方程为－y2＝1、(2)将 y＝kx＋代入－y2＝1,得(1－3k2)x2－6kx－9＝0、由直线 l 与双曲线 C2交于不同得两点,得∴k2≠且 k2<1、①设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1＋x2＝,x1x2＝、 ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝、又 OA·OB>2,得 x1x2＋y1y2>2,∴>2,即>0,解得
