立体几何大题练习(文科):1.如图,在四棱锥SABCD﹣中,底面ABCD就是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面 SAD⊥底面 ABCD.(1)求证:平面 SBD⊥平面 SAD;(2)若∠SDA=120°,且三棱锥 SBCD﹣得体积为,求侧面△SAB 得面积.【分析】(1)由梯形 ABCD,设 BC=a,则 CD=a,AB=2a,运用勾股定理与余弦定理,可得AD,由线面垂直得判定定理可得 BD⊥平面 SAD,运用面面垂直得判定定理即可得证;(2)运用面面垂直得性质定理,以及三棱锥得体积公式,求得 BC=1,运用勾股定理与余弦定理,可得 SA,SB,运用三角形得面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=,设 BC=a,则 CD=a,AB=2a,在直角三角形 BCD 中,∠BCD=90°,可得 BD=a,∠CBD=45°,∠ABD=45°,由余弦定理可得 AD==a,则 BD⊥AD,由面 SAD⊥底面 ABCD.可得 BD⊥平面 SAD,又 BD⊂平面 SBD,可得平面 SBD⊥平面 SAD;(2)解:∠SDA=120°,且三棱锥 SBCD﹣得体积为,由 AD=SD=a,在△SAD 中,可得 SA=2SDsin60°=a,△SAD 得边 AD 上得高 SH=SDsin60°=a,由 SH⊥平面 BCD,可得×a××a2=,解得 a=1,由 BD⊥平面 SAD,可得 BD⊥SD,SB===2a,又 AB=2a,在等腰三角形 SBA 中,边 SA 上得高为=a,则△SAB 得面积为×SA×a=a=.【点评】本题考查面面垂直得判定定理得运用,注意运用转化思想,考查三棱锥得体积公式得运用,以及推理能力与空间想象能力,属于中档题.2.如图,在三棱锥 ABCD﹣中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面 ABD⊥平面 BCD,点 E、F(E 与A、D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面 ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用 AB∥EF 及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段 CD 上点 G,连结 FG、EG 使得 FG∥BC,则 EG∥AC,利用线面垂直得性质定理可知 FG⊥AD,结合线面垂直得判定定理可知 AD⊥平面 EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为 AB⊥AD,EF⊥AD,且 A、B、E、F 四点共面,所以 AB∥EF,又因为 EF⊂平面 ABC,AB⊂平面 ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面 ABC;(2)在线段 CD 上取点 G,连结 FG、EG 使得 FG∥BC,则 EG∥AC,因为 BC⊥BD,FG∥BC,所以 FG⊥BD,又因为平面 ABD⊥平面 BCD,所以 FG⊥平面 ABD,所以 FG⊥AD,又因为 AD⊥EF,且 EF∩FG=F,所以 AD⊥平面 EFG,所以 AD⊥EG,故 AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直得判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线...
