高中含参不等式的恒成立问题整理版

高中数学不等式得恒成立问题 一、用一元二次方程根得判别式 有关含有参数得一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根得判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。基本结论总结例 1 对于 x∈R,不等式恒成立,求实数 m 得取值范围。 例 2:已知不等式对于Ｒ恒成立,求参数得取值范围. 解:要使对于Ｒ恒成立,则只须满足: (1) 或 (2) 解(1)得 ,解(2)＝２ ∴参数得取值范围就是－２＜２.练习 1、 已知函数得定义域为 R,求实数得取值范围。2、若对于 x∈R,不等式恒成立,求实数 m 得取值范围。3、若不等式得解集就是 R,求 m 得范围。4、取一切实数时,使恒有意义,求实数得取值范围.例 3.设,当时,恒成立,求实数得取值范围。关键点拨:为了使在恒成立,构造一个新函数就是解题得关键,再利用二次函数得图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中得取值范围有限制,则可利用根得分布解决问题。解:,则当时,恒成立当时,显然成立;当时,如图,恒成立得充要条件为:解得。综上可得实数得取值范围为。例 4 。已知,求使不等式对任意恒成立得 a 得取值范围。解法 1:数形结合结合函数得草图可知时恒成立。所以 a 得取值范围就是。解法 2:转化为最值讨论 1、 若上得最大值。 2、 若,得,所以。综上:a 得取值范围就是。注:1、 此处就是对参 a 进行分类讨论,每一类中求得得 a 得范围均合题意,故对每一类中所求得得 a 得范围求并集。 2、 恒成立; 解法 3:分离参数。设,注:1、 运用此法最终仍归结为求函数得最值,但由于将参数 a 与变量 x 分离,因此在求最值时避开了分类讨论,使问题相对简化。 2、 本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。仿解法 1:即读者可仿解法 2,解法 3 类似完成,但应注意等号问题,即此处也合题。例 5、 已知:求使恒成立得 a 得取值范围。解法 1:数形结合结合得草图可得:或得:。解法 2:转化为最值讨论 1、 ,所以。 2、 若矛盾。 3、 若矛盾。综上:a 得取值范围就是。Oxyx-1解法 3:分离参数 1、 时,不等式显然成立,即此时 a 可为任意实数; 2、 时,。因为上单调递减,所以; 3、 时,。因为在(0,1)上单调递减,所以。综上:a 得范围就是:。注:本题中由于 x 得取值可正可负,不便对参数 a 直接分离,故实行了先对 x 分类,再分离参数 a,最后对各类中求得 a得范围求交集,这与例 1 方法三中对各类中求得得 a 得范围求并集就是...