高中数学 1.3.2函数的极值与导数学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

1．3.2 函数的极值与导数1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．1．极小值点与极小值的定义(1)特征：函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，且 f ′( a ) ＝ 0 ．(2)实质：在点 x＝a 附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ．(3)极小值点是：点 a ，极小值是：f ( a ) ．2．极大值点与极大值的定义(1)特征：函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，且 f ′( b ) ＝ 0 ．(2)实质：在点 x＝b 附近的左侧 f ′( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ．(3)极大值点是：点 b ，极大值是：f ( b ) ．3．极值的定义(1)极大值与极小值统称极值．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．4．函数在某点取得极值的必要条件函数 y＝f(x)在点 x＝x0处取得极值的必要条件是 f ′( x 0) ＝ 0 ．想一想：(1)函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？(2)函数 f(x)＝x3－3x2＋7 的极大值为________．(1)解析：不一定；不一定唯一．(2)解析：因为 f′(x)＝3x2－6x，解 3x2－6x＝0 得 x＝0 或 x＝2，所以 f(x)的增区间为(2，＋∞)和(－∞，0)，f(x)的减区间为(0，2)，所以当 x＝0 时，函数取得极大值 f(0)＝7.答案：7 1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值，则 a 等于(D)A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由 f′(－3)＝0 得 a＝5.故选 D.2．设函数 f(x)＝＋ln x，则(D)A．x＝为 f(x)的极大值点1B．x＝为 f(x)的极小值点C．x＝2 为 f(x)的极大值点D．x＝2 为 f(x)的极小值点3．已知函数 y＝x－ln(1＋x2)，则函数 y 的极值情况是(D)A．有极小值 B．有极大值C．既有极大值又有极小值 D．无极值解析：x∈R，y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，所以函数 y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值，则 a 等于(D)A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(－3)＝0，a＝5.故选 D.2．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数 f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3．已...