高中数学 2.1.1不等式的的证明(1)比较法学案 新人教版选修4-5

§2.1.1 不等式的的证明(1)比较法☆学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景☻知识情景： 1．绝对值三角不等式： 定理 1 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立. 定理 2 如果, 那么. 当且仅当 时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设为正数, 则 10.; 20.;30. 设, 则.3．实数大小必较法则： ☆案例学习： 例 1 设，求证：. 例 2 若实数，求证：例 3 已知求证 例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时 间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走. 如果， 问甲、乙两人谁先到达指定地点. 例 5 设 求证；对任意实数，恒有 “欲穷千里目,更上一层楼.” 10. 在例 5 中, 特别地, 令 , 则得 再结合函数的图象, 这数和形 20.琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数定义域为，如果，都有 （1）则称为上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称为上的 函数.30. 其推广形式是：若函数的是上的下凸函数，则，都有 （2） 当且仅当时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.40.琴生不等式推广形式：设，是上的下凸函数， 则 都有：， 当且仅当时 .若是上凹函数，则上述不等式反向. 把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.选修 4-5 练习 §2.1.1 不等式的的证明(1)比较法 姓名 1、比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与； （2）与. 2、已知 求证：（1） （2）3、若，求证4、已知 a≠0，比较与的大小． 5、（上海）已知函数＝＋有如下性质： 如果常数＞0，那么该函数在 0，上是减函数，在，＋∞ 上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为 6，＋∞ ，求的值；（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函 数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝ ＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 6、（山东）已知函数，其中，为常数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有． 参考答案:例 3 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：...