2.1.2 不等式的证明(2)综合法与分析法 ☆学习目标： 1. 理解并掌握综合法与分析法; 2. 会利用综合法和分析法证明不等式☻知识情景： 1. 基本不等式：10. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.20. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.30. 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立. 2.均值不等式：如果,那么 的大小关系是： 常用推论：1. ; ; 2. ; 3. (). 3. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习： 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：例 1 例 2分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：例 3 例 4 例 5 证明： 选修 4-5 练习 §2.1.2 不等式的证明(2) 姓名 1、已知求证 2、已知 求证3、已知求证：（1）（2） 4、已知都是正数。求证： （1） （2）5、已知都是互不相等的正数，求证6 是互不相等的正数，且. 求证:．7 已知 a，b，m 都是正数，并且分别用综合法与分析法求证:．8 设，分别用综合法与分析法求证: 9（1）已知是正常数,,,求证：,指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数()的最小值，指出取最小值时的值．答案: 例 1 例 2 例 3例 4例 5 证明 （1） （2）（3） （4） （5） （5）显然成立。因此（1）成立。 练习6 ∵ 是互不相等的正数，且 ∴ ∴7 证法一 要证（1），只需证 （2）要证（2），只需证 （3）要证（3），只需证 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得 两边同时除以正数得（1）。8 证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到，即，由上式即得， 从而成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？9（1）， 故．当且仅当，即时上式取等号； ⑵ 由⑴得． 当且仅当，即时上式取最小值，即．
