1.4 绝对值三角不等式 【教学目标】1.理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0 时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0 时等号成立）2.能应用定理解决一些证明和求最值问题。【教学重点】绝对值不等式的两个定理【教学难点】应用定理解决一些证明和求最值问题一、课前预习：1. 预习课本 17-18 页 2. 提问：实数 a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离：3.联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：二、课上学习：一. 定理 1 如果 a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|当且仅当 ab≥0 时，等号成立。 探究 1. 如果把定理 1 中的实数 a, b 分别换成向量 a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？探究 2. 当向量 a, b 共线时，有怎样的结论？定理 1 的代数证明：探究 3. 你能根据定理 1 的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|, |a|-|b|≤|a-b|.1abab222222220,||()2||2 ||||||2 ||||(||||)||||, || ||||,0ababab ababaabbaabbaabbababababab当时，所以当且仅当时，等号成立。※结论：如果 a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|二、定理 2 如果 a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时，等号成立【合作探究】 1. 已知 ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：|2x+3y-2a-3b|<5ε.2.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km 和第 20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第 xkm 处，两个施工队每天往返的路程之和为 S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。三、课后练习：求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b|【高考题】1.[2013·重庆卷] 若关于实数 x 的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a 无解，则实数 a 的取值范围是________．2. （2012 年高考（陕西理））若存在实数 x 使|||1| 3xax 成立,则实数a 的取值范围是___________.2
