2.1.3 余弦定理（一）知识梳理余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）题型一 根据三角形的三边关系求角例 1．已知△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角. 解： ＝＝＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶设 a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)则最大角为 C.cosC＝＝＝－∴C＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式： a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角 C 最大。题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形例 2. 在 △ ABC 中 ，=，=， 且，是 方 程的 两 根 ，。（1）求角 C 的度数；（2）求的长；（3）求△ABC 的面积。解：(1) （2）因为，是方程的两根，所以 （3）评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。备选题 正、余弦定理的综合应用例 3. 在中 ， 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为、、， 已 知， 且 求 b 解 法 一 ： 在中则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 :化 简 并 整 理 得 ：. 又 由 已 知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以…………………………………①又，，即由正弦定理得，故………………………②由①，②解得。评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例 3．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为，，，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得: ，又由正弦定理得:， ， 评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。. 点击双基1．在△ABC 中，若 a=2, b=2, c=+,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D)...
