2.1.4 余弦定理（二）知识梳理1．余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形 ABC 中 典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例 1 在中，已知，，，，求 c.解 且，∴为钝角，，由余弦定理知，∴即，解得或（舍去）∴.评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。题型二：判断三角形的形状例 2 在中，若，试判断的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：， ，∴，即，B 、C 为的内角，∴，故为直角三角形.方法二：原等式变形为：，即：，由余弦定理得：故为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题：余弦定理的应用例 3：已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求证：A＋B＝120°证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB可得 sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB又 sinA＝，sinB＝，sinC＝，∴＋－＝·整理得 a2＋b2－c2＝ab∴cosC＝＝又 0°＜C＜180°，∴C＝60°∴A＋B＝180°－C＝120°评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦 .但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式： a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求熟练掌握.（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式 sinB·cosA＝sinAcosB 两端同除以 sinAsinB 得 cotA＝cotB，再由 0＜A，B＜π，而得 A＝B.点击双基1.在在△ABC 中，AB=3,AC=4,BC=,则 AC 边上的高为（ ）A. B. C. D, 解：由余弦定理知：cosA===,A=AC 边上的高为 ABsinA=答案：B2.在在△ABC 中,已知其面积 S=（a）,则角 C 的度数为（ ）A. 135 B. 45 C. 60 D. 120解：S=（a），absinC=（a）sinC=即 sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3．在△ABC 中，若，则其面积等于（ ）A． B． C． ...
