高中数学 2.1.5正、余弦定理的综合应用 复习学案 北师大版必修5

2.1.5 正、余弦定理的综合应用知识梳理1.正弦定理： ，其中为外接圆的半径。利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：； ； .在余弦定理中，令 C=90°，这时 cosC=0，所以 c2=a2+b2.（2）余弦定理的推论：； ； .利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.三角形面积公式：==4.三角形的性质：①.A+B+C=, ,, ②.在中, ＞c , ＜c ; A＞B＞, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若为锐角，则＞,B+C ＞,A+C ＞; ＞，＞，＋＞5.(1)若给出那么解的个数为：(A 为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b 及 A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角babaabaB1BACACABCB2 一解 两解 一解若，则无解；（2）当 A≥90若 a>b,则一解若 a≤b，则无解典例剖析题型一 三角形多解情况的判断例 1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求； （4），，，求；（5），，，求．解：（1） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2） ，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。题型二 正、余弦定理在函数中的应用例 2 在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 为 BC 中点，且 AD＝4，求 BC 边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设 BC 为 x 后，建立关于 x 的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为 BC中点，所以 BD、DC 可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BD＝DC＝，在△ADB 中，cosADB＝＝在△ADC 中，cosADC＝＝又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.∴＝－解得，x＝2所以，BC 边长为 2.评...