2.2.2 正、余弦定理的应用举例知识梳理 2. 解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。 3. 解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。典例剖析题型一 正、余弦定理在几何中的应用例 1 如图所示，已知半圆的直径 AB＝2，点 C 在 AB 的延长线上，BC＝1，点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边△PCD，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)＝2sin(θ－)＋∴当 θ－＝即 θ＝时，ｙ max＝2＋评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表示四边形 OPDC 面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ 的构造及逆用，应予以重视题型二 正、余弦定理在函数中的应用例 2 如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点 千米，乙离点 千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含 的式子表示 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，则 ， ∴起初，两人的距离是．（2）设甲、乙两人 小时后的位置分别是，则，，当时，；当时，，所以，．（3）， ∴当时，即在第分钟末，最短。答：在第分钟末，两人的距离最短。评析：（2）中，分 0t和 t>两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。备选题 正、余弦定理的综合应用例 3 如图，已知△ABC 是边长为 1 的正三角形，M、N 分别是边 AB、AC 上的点，线段 MN 经过△ABC 的中心 G，设MGA＝（）（1）试将△AGM、△AGN 的面积（分别记为 S1与 S2）；表示为的函数，（2）求 y＝的最大值与最小值。ABCMN解析：（1）因为 G 是边长为 ...
