高二数学 预学案、教学案周次8课题直线的方向向量与平面的法向量第 1 课时授课形式新授课主编审核教学目标理解直线的方向向量与平面的法向量会用待定系数法求平面的法向量重点难点直线的方向向量与平面的法向量的求法教学方法课堂结构一．问题情境在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？二．概念讲解1.直线的方向向量我 们 把 直 线 上 的 向 量（） 以 及 与共 线 的 非 零 向 量 叫 做 直 线的2.平面的法线与平面 的直线叫做平面的法线3.平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作。此时，我们把向量叫做平面的法向量。一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个三．基础自测1.在空间直角坐标系 O—xyz 中，写出平面 yOz 的一个法向量 2.已知 A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），那么平面 ABC 的一个单位法向量的坐标是 3.已知 A,B，且直线 AB 的一个方向向量是，则 4.平面的法向量是，平面的法向量是，若，则，的关系是 四．典型例题例 1.在正方体 ABCD—A B C D 中，求证：是平面 ACD 的法向量。 变式训练 1：在正方体 ABCD—A B C D 中，O 是 AC 与 BD 的交点，M 是 CC 的中点，求证：是平面 MBD 的法向量 在空间直角坐标系中，我们还可以用待定系数法来求平面的法向量。变式训练 2：在正方体 ABCD—A B C D 中，求平面 ACD 的一个法向量。解：设平面 ACD 的一个法向量为则从而 因为，所以解方程组得到不妨取，则所以，就是平面 ACD 的一个法向量。五．课堂自测：1. 已 知 点，， 则 直 线的 一 个 方 向 向 量 为 .2.已知直线 经过点，是 的方向向量，若是 上任意一点，则满足的关系式是 3.若异面直线的方向向量分别是和，则，的公垂线的一个方向向量的坐标是 4.已知平面经过点，且是平面的法向量，是平面内任意一点，则满足的关系式 5.在长方体中，条件甲：是正方体；条件乙：是平面的法向量，那么甲是乙的 条件6.已知，点在平面内，若直线的方向向量是，则点的坐标是 7.已知（1）写出直线的一个方向向量；（2）设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式。
