2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（结）命题方向 1 计算向量的数量积例 1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．[分析] a∥b 时其夹角为 0°或 180°，a⊥b 时其夹角为 90°，将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可．[解析] (1)∵a∥b，若 a 与 b 同向，则 θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当 a⊥b 时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝0.(3)当 a 与 b 夹角为 60°时，a·b＝|a||b|cos60°＝4×5×＝10.命题方向 2 求一个向量在另一个向量方向上的投影例 2 已知|a|＝4，e 为单位向量，它们的夹角为，则 a 在 e 方向上的投影是____________；e在 a 方向上的投影是____________．[分析] 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影公式|a|cosθ 中计算即可．[答案] －2 －命题方向 3 待定系数法求抛物线的标准方程例 3 已知 a、b 是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求 a 与 a＋b 的夹角．[分析] 根据模长的关系，利用两向量的夹角公式计算．[解析] 根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝|a|.设 a 与 a＋b 的夹角为 θ，则 cosθ＝＝＝.又 0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.命题方向 4 求向量的模例 4 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值．[分析] 先分别求|a＋b|2、|a－b|2，将模的计算转化为数量积的问题．[解析] 因为 a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×cos＝，所以|a＋b|＝＝＝＝5，|a－b|＝＝＝＝5.命题方向 5 判断平面图形的形状例 5 在△ABC 中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，且 a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC 的形状．[分析] 易知 a＋b＋c＝0，分别将 a、b、c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a·b、b·c、c·a，选取两个等式相减即可得到 a、b、c 中两个向量的长度之间的关系．[解析] 在△ABC 中，易知AB＋BC＋CA＝0，即 a＋b＋c＝0，因此 a＋c＝－b，a＋b＝－c，从而两式相减可得 b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，则 2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，因为 a·b＝c·a＝a·c，所以 2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|，故|AB|＝|BC|＝|CA|，即△ABC 是等边三角形．
