高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系知识导学案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学学案

2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系知识梳理1.直线与圆的位置关系直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，(1)设圆心(a,b)到直线的距离是 d，d=.位置关系几何特征代数特征(方程联立)相离d＞r无实数解(Δ＜0)相切d=r一组实数解(Δ=0)相交d＜r两组实数(Δ＞0) (2)圆的切线方程:过圆 x2+y2=r2上一点 P(x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r2.类比:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 P(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为 R、r(R≥r)，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系几何特征代数特征(方程联立)相离d＞R+r无实数解(Δ＜0)外切d=R+r一组实数解(Δ=0)相交R-r＜d＜R+r两组实数解(Δ＞0)内切d=R-r一组实数解(Δ=0)内含d＜R-r无实数解(Δ＜0)知识导学通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本节的主要内容之一.判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：(1)曲线 C1与 C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解，曲线 C1与 C2就有几个公共点；方程组没有实数解，曲线 C1与 C2就没有公共点.(2)运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆位置关系的结论转化为相应的代数结论.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.疑难突破圆和圆的位置关系的讨论.剖析：用几何法来判别较好，设两圆心距为 d，两圆的半径分别为 r 和 R，则可以根据 d 与R+r 的大小关系以及 d 与|R-r|的大小关系判断两圆的位置关系.当 r≠R 时，由于 R+r 和|R-r|将数轴分成了五个部分,分别是(-∞,|R-r|),|R-r|,(|R-r|,R+r),R+r,(R+r,+∞).如图 2-3-(3,4)-1 所示.图 2-3-(3,4)-1所以 d 与|R-r|和 R+r 的大小关系可以分成以上的五种情况进行讨论.也就是说，两圆的位置关系一共有五种情况.当 R=r 时，由于|R-r|与原点重合，所以两圆的位置关系只有四种情况：相离、相切、相交和重合. (1) (2) (3) (4) (5) (6)2-3-(3,4)-2(1)当 d＞R+r 时，两圆相离；(2)当 d=R+r 时，两圆相切；(3)当|R-r|＜d＜R+r 时，两圆相交；(4)当 d=|R-r|时，两圆内切；(5)当 d＜|R-r|时，两圆内含.(6)当 d=|R-r|=0 时，两圆重合.