第二章 数列2.5 等比数列的前 n 项和2.5 等比数列的前 n 项和(第 2 课时)学习目标掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题.通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程,体会“错位相减法”以及分类讨论的思想方法.通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维.合作学习一、设计问题,创设情境复习引入:1.等比数列的通项公式 ; 2.等比数列的前 n 项和公式 . 3.类比等差数列的前 n 项和,等比数列的前 n 项和会有怎样的性质?已知数列{an}是等差数列,Sn是其前 n 项和.可以证明若 k∈N*,Sk,S2k-Sk, 成等差数列. 那么等比数列是否有类似的性质?二、信息交流,揭示规律1.等比数列的通项公式和前 n 项和公式这两个公式中含有五个量,分别是 Sn,an,n,q,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的两个量,即“知三求二”.把公式看成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数.2.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前 n 项和.可以证明:k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.Sk=a1+a2+a3+…+ak=a1(1+q+q2+…+qk-1),S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+…+a2k=ak+1(1+q+q2+…+qk-1),S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+…+a3k=a2k+1(1+q+q2+…+qk-1),= . 三、运用规律,解决问题【例 1】在等比数列{an}中,已知 a1=2,S3=26,求 q 和 Sn.【例 2】在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.【例 3】已知 Sn是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断{an}是否为等比数列?四、变式训练,深化提高等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比 q;(2)若 a1-a3=3,求 Sn.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.an=a1qn-12.Sn=3.S3k-S2k二、信息交流,揭示规律2.qk三、运用规律,解决问题【例 1】解:因为 S3=26,a1+a2+a3=26,所以 a1(1+q+q2)=26,即 2(1+q+q2)=26,于是得 q2+q-12=0,解得 q=-4,或 q=3,当 q=-4 时,Sn=×(-4)n,当 q=3 时,Sn==3n-1.【例 2】解:由性质知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.所以 122=48×(S3n-60),解得 S3n=63.【例 3】解:由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1,故 a2=(p-1)p,因此数列{an}成等比数列⇔但满足此条件的实数 p 是不存在的,所以数列{an}不是等比数列.四、变式训练,深化提高解:(1)由题意,有 S1+S2=2S3,即 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).又已知 a1≠0,q≠0,解得 q=-.(2)由已知得 a1-a1=3,解得 a1=4.从而 Sn=.五、反思小结,观点提炼略
