等比数列及其前 n 项和 【学习目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质和前 n 项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.【要点梳理】要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.要点诠释：① 由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 可不能是 0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③ 隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；④ 常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为 0 的常数列是公比为 1 的等比数列；⑤ 证明一个数列为等比数列，其依据.利用这种形式来判定，就便于操作了.要点二、等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中。要点诠释：① 只有当与同号即时， 与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项。② 任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一。③ 当时，、、成等比数列。④是、、成等比数列的必要不充分条件。要点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：1推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：∴；；；……当 n=1 时，上式也成立∴归纳得出：奎屯王新敞新疆（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：，，，……， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即2又 a1也符合上式∴.(3)迭代法：∴.要点诠释：① 通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.② 通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明： ， ∴ ∴由 上 可 知 ， 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 以 用 数 列 中 的 任 一 项 与 公 比 来 ...
