高中数学 函数的连续性素材 新人教版

分段函数的极限和连续性例 设)21( 1)1( 21)10( )(xxxxxf（1）求）xf (在点1x处的左、右极限，函数）xf (在点1x处是否有极限？（2）函数）xf (在点1x处是否连续？ （3）确定函数）xf (的连续区间．分析：对于函数）xf (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0xx 时的极限是否等于)(0xf；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim)(lim11xxfxx11lim)(lim11xxxf∴1)(lim1xfx函数）xf (在点1x处有极限．（2）)(lim21)1(1xffx函数）xf (在点1x处不连续．（3）函数）xf (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f存在，则）xf (在1x处就连续．求分段函数在分界点0x 的左 右 极 限 ， 一 定 要 注 意 在 分 界 点 左 、 右 的 解 析 式 的 不 同 ． 只 有)(lim),(lim)(lim000xfxfxfxxxxxx才存在．函数的图象及连续性例 已知函数24)(2 xxxf，（1）求）xf (的定义域，并作出函数的图象；用心 爱心 专心（2）求）xf (的不连续点0x ；（3）对）xf (补充定义，使其是 R 上的连续函数．分析：函数）xf (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量 x 的取值范围，给 函 数）xf (补 充 定 义 ， 使 其 在 R 上 是 连 续 函 数 ， 一 般 是 先 求)(lim0xfxx， 再 让)(lim)(00xfxfxx即可．解：（1）当02 x时，有2x．因此，函数的定义域是 ,22,当2x时，.224)(2xxxxf其图象如下图．（2）由定义域知，函数）xf (的不连续点是20x．（3）因为当2x时，2)(xxf所以4)2(lim)(lim22xxfxx因此，将）xf (的表达式改写为)2(4)2(24)(2xxxxxf则函数）xf (在 R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根用心 爱心 专心例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523xx是否存在实数根．分析：要判定方程0)(xf是否有实根，即判定对应的连续函数)(xfy 的图象是否与 x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在 x 轴上方，另一点在 x 轴下方即可．解：设152)(3xxx...