模块综合检测(时间：100 分钟，总分 100 分)1．(本小题满分 10 分)曲线 9x2＋4y2＝1 在→＝伸压变换下变成另一曲线 C，求曲线 C的方程．解：伸压变换矩阵为 M＝，由＝ ，得即其中点 P(x，y)在曲线 9x2＋4y2＝1 上，所以有92＋42＝1，即 x′2＋y′2＝1.故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1.2．(本小题满分 10 分)二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵 M；(2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：x－y－4＝0，求 l 的方程．解：(1)设 M＝，则有 ＝， ＝，所以且解得所以 M＝.(2)因为＝ ＝，且 x′－y′－4＝0，所以(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0，整理得 x＋y＋2＝0，所以直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0.3．(本小题满分 10 分)已知 M＝，N＝，求二阶方阵 X，使 MX＝N.解：设 X＝，据题意有 ＝，根据矩阵乘法法则有解得所以 X＝.4.(本小题满分 10 分)变换 T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是 M1；变换 T2对应的变换矩阵是 M2＝.(1)求点 P(2,1)在 T1作用下的点 P′的坐标；(2)求曲线 2x2－2xy＋y2＝1 先在 T1旋转变换作用下，后在 T2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1)由题意知 M1＝，故 M1＝ ＝，所以点 P(2,1)在 T1作用下的点 P′的坐标是(－1,2)．(2)由题意得 M＝M2M1＝，设是变换后的图像上任意一点，与之对应的变换前的点是，则 M＝，也就是即代入 2x－2x0y0＋y＝1，得 2y2－2y(y－x)＋(y－x)2＝1，即 x2＋y2＝1.所以所求曲线的方程是 x2＋y2＝1.5 ． ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 △ ABC 的 顶 点 坐 标 为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积．这里 M＝，N＝. 解：在矩阵 N＝的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转 90°得到的图形，在矩阵 M＝的作用下，一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图形．所以△ABC 在矩阵 MN 的作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为×2×1＝1.6．(本小题满分 10 分)已知矩阵 A＝，B＝. (1)计算 AB；(2)若矩阵 B 把曲线：x2－y2＝1 变为曲线 C′，求曲线 C′的方程．解：(1)AB＝.(2)任取直线 l 上一点 P(x，y)，经矩阵 B 变换后为点 P′(x′，y′)，则＝ ＝，∴∴代入 x2－y2＝1，得(x′＋2y′)2－y′2＝1，∴...
