高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 1.4 第3课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法学案 北师大版选修4-5-北师大版高中选修4-5数学学案

第 3 课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法1．了解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤．(重点)2．会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式．(难点)[基础·初探]教材整理 1 放缩法与几何法阅读教材 P18～P20，完成下列问题．1．放缩法证明命题时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母 ( 或分子 ) ，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．2．几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行．( )(2)整式的放缩可以通过加减项来进行．( )(3)从<来看，这是通过扩大分子达到了放大的目的．( )【解析】 根据放缩法的定义知(1)(2)正确，而(3)中，因 m 的符号不定，所以不一定达到放大的目的，故错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)×教材整理 2 反证法阅读教材 P20～P21，完成下列问题．通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法．其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法与同一法实质上是一致的．( )(2)证明“至少”“至多”“否定性命题”时宜用反证法．( )(3)证明结论“a，b，c 至少一个为负数”时，提出假设可以是“a，b，c 至多有两个为负数”．( )【解析】 (1)× 从原理上分析，两种方法截然不同．(2)√ 反证法适合于证明这种类型．(3)× 假设应为“a，b，c 没有一个为负数”．【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]利用反证法证明否定性结论 已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于. 【导学号：94910023】【精彩点拨】 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．【自主解答】 假设三式同时大于，即 b－ab>，c－bc>，a－ac>，三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>. ① 0