高中数学 求递推数列的通项公式的九种方法素材 新人教A版必修5

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例 1 在数列{na }中，31 a,)1(11nnaann，求通项公式na .解：原递推式可化为：1111nnaann则,211112aa 312123aa413134aa，……，nnaann1111逐项相加得：naan111.故nan14 .二、作商求和法例 2 设 数 列 {na } 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 ， 且0)1(1221nnnnaanaan（n=1,2,3…），则它的通项公式是na =▁▁▁（2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为： )]()1[(11nnnnaanaan=0 nnaa1＞0， 11nnaann 则 ,43,32,21342312aaaaaa……，nnaann11 逐项相乘得：naan11，即na =n1 .三、换元法例 3 已知数列{na }，其中913,3421aa，且当 n≥3 时，)(31211nnnnaaaa，求通项公式na （1986 年高考文科第八题改编）.解：设11nnnaab，原递推式可化为： }{,3121nnnbbb 是 一 个 等 比 数 列 ，9134913121aab， 公 比 为 31 . 故nnnnbb)31()31(91)31(2211.故nnnaa)31(1 .由逐差法可得：nna)31(2123 . 例 4 已知数列{na }，其中2,121 aa，且当 n≥3 时，1221nnnaaa，求通项公式na 。解 由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为121nnbb，因此}{ nb是一个等差数列，1121aab，公差为 1.故nbn .。由于112312121nnnnaaaaaaabbb又2)1(121nnbbbn所以)1(211nnan，即)2(212nnan 四、积差相消法 例 5（1993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a ，1a ，na …，na ，…满足2nnaa21nn aa=12na )2( n且110aa，求}{na的通项公式.解 将递推式两边同除以21nn aa整理得：12211nnnnaaaa设nb =1nnaa，则011aab =1，121 nnbb，故有12 12bb ⑴1223bb ⑵ … … … …121 nnbb (1n)由⑴22 n+ ⑵32 n +…+(1n)02 得122221nnb=12 n，即1nnaa=12 n.逐项相乘得：na =2)12( 2...