第 2 课时 运用平均值不等式求最大(小)值学习目标：1.能利用平均值不等式求简单的最大(小)值．(重点)2.掌握建立不等式模型，解决实际问题中的最值．(难点)教材整理 两个重要结论阅读教材 P10～P14，完成下列问题．1．已知 x，y 为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果 P 是定值，那么当且仅当 x ＝ y 时，S 取得最小值 2；(2)如果 S 是定值，那么当且仅当 x＝y 时，P 取得最大值.2．若 a，b，c 均为正数，(1)如果 a＋b＋c 是定值 S，那么 a ＝ b ＝ c 时，积 abc 有最大值；(2)如果积 abc 是定值 P，那么当 a＝b＝c 时， 和 a ＋ b ＋ c 有最小值．填空：(1)若 x>0 时，＋x 的最小值是________．(2)当取得最小值时，x 取________．[解析] (1)x>0 时，x＋≥2，故最小值为 2.(2)＝＋≥2，这时 x＝0.[答案] (1)2 (2)0利用平均值不等式求最大(小)值【例 1】 设 x，y，z 均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为__________．[精彩点拨] 由条件消去 y，然后利用平均值不等式求最小值．[自主解答] 由 x－2y＋3z＝0，得 y＝，∴＝＝≥＝3.当且仅当 x＝y＝3z 时，取得最小值 3.[答案] 3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的 y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题．1．函数 y＝(x>－1)的最大值是______．[解析] y＝＝. x>－1，∴x＋1>0.1因此 x＋1＋≥2，x＋1＋＋3≥3＋2.当且仅当 x＋1＝，x＝－1 时等号成立．∴00，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．[精彩点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值．[自主解答] 法一： x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.法二：由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知 x>1，y>9，而 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16.所以当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先，看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑...
