2.4 充要条件学习目标：1.理解充要条件的意义．(难点) 掌握充分、必要、充要条件的应用．(重点、难点) 区分充分不必要条件、必要不充分条件．(易混点)1．充要条件如果 p ⇒ q ，且 q ⇒ p ，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 p ⇔ q ．2．常见的四种条件(1)充分不必要条件，即 p ⇒ q 且 q_p．(2)必要不充分条件，即 p_q 且 q ⇒ p ．(3)充要条件，即 p ⇒ q 且 q ⇒ p ．(4)既不充分也不必要条件，即 p_ q 且 q_p．思考：“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？[提示] p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论；p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论．1.判断正误(1) 若 p 是 q 的充要条件，则 q 成立当且仅当 p 成立．( )(2)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题．( )(3)若 p q 和 q p 有一个成立，则 p 一定不是 q 的充要条件．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A [解 x2－2x＋1＝0 得 x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]3.在△ABC 中，“A＞B”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C [在△ABC 中，A＞B⇔a＞b，∴A＞B 是 a＞b 的充要条件．]4.若“x
1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p 是否为 q 的充要条件？① 在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；② 若 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.C [(1)由于函数 y＝x3在 R 上是增函数，∴当 x>1 时，x3>1 成立，反过来，当 x3>1 时，x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选 C.](2)[解] ①在△ABC 中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以 p 是 q 的充要条件．② 若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，即 p⇒q；若 a＝b＝0，则 a2＋b2＝0，即 q⇒p，故 p⇔q，所以 ...
