高中数学 直接证明学案 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学学案

直接证明学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.学习重难点：综合法和分析法学法指导综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点. 学习过程：探究一：综合法问题 1：请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.小结：综合法的定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法.问题 2：综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？1因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“ 猜想”，所以综合法是演绎推理.例 1：在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成 等差数列，a，b，c 成等比数 列，求证：△ABC 为等边三角形.跟踪训练：在△ABC 中，＝，证明：B＝C.探究二：分析法问题 1：回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？证明：要证≥，只需证 a＋b≥2，只需证 a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.问题 2：证明过程有何特点？从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件.问题 3：综合法和分 析法的区别是什么？2例 2：求证：＋<2.跟踪训练：求证：－<－(a≥3).探究三： 综合法和分析法的综合应用问题：在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论 Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论 P.若 P⇒Q，则结论得证.例 3 已知 α，β≠kπ＋(k∈Z)，且 sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θ·cos θ＝sin2β. 求证：＝.跟踪训练：若 tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).当堂检测：1.设 a，b 是两个正实数，且 a>>b；② b>> >a；③b>>>a；④ b>a>>.2.求证：＋＋<2.33.已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α).4.已知向量，，其中BA,是ABC的内角， ，求证：为定值.5.已知数列，是它的前 项和，且，，(1)设，求证：数列...