第 1 章 集合与常用逻辑用语集合的并、交、补运算【例 1】 已知全集 U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合 A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．(1)用列举法表示集合 A 与 B；(2)求 A∩B 及∁U(A∪B)．[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助 Venn 图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.1．已知全集 U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}D [ A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．]集合关系和运算中的参数问题【例 2】 已知集合 A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若(∁RA)∪B＝R，求 a 的取值范围；(2)是否存在 a 使(∁RA)∪B＝R 且 A∩B＝∅？[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0 或 x>2}． (∁RA)∪B＝R，∴∴－1≤a≤0.(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R 时，－1≤a≤0，而 2≤a＋3≤3，∴A⊆B，这与 A∩B＝∅矛盾．即这样的 a 不存在．根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如 A⊆B 的问题转化为 AB或 A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.2．已知集合 A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且 B⊆A，求实数 k 的取值范围. [解] 由于 B⊆A，在数轴上表示 A，B，如图， 可得解得所以 k 的取值范围是.充分条件与必要条件【例 3】 已知 a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中 a，c 均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有 y≤1 成立的充要条件是 c≤.[解] 因为 a≥，所以函数 y＝－a2x2＋ax＋c 的图像的对称轴方程为 x＝＝，且 0＜≤1，当 x＝时，y＝＋c.先证必要性：对于任意的 x∈{x|0≤x≤1}，均有 y≤1，即＋c≤1，所以 c≤.再证充分性：因为 c≤，当 x＝时，y 的最大值为＋c≤＋＝1，所以对于任意 x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即 y≤1.即充分性成立．...
