§3 计算导数学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数的概念．(重点)2．会用导数定义求简单函数的导数．(难点)3.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数．(重点)1．通过导数概念的学习，提升学生的数学抽象的核心素养.2．通过求简单函数的导数的学习，培养学生数学运算的核心素养.1．导函数的概念一般地，如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝lim，则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y＝c(c 是常数)y′＝0y＝xα(α 是实数)y′＝αx α － 1 y＝ax(a>0，a≠1)y′＝a x ln _a，特别地(ex)′＝e x y＝logax(a>0，a≠1)y′＝，特别地(ln x)′＝y＝sin xy′＝cos_xy＝cos xy′＝－ sin _xy＝tan xy′＝y＝cot xy′＝－[提醒] 特殊的幂函数 y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数均可由“y＝xα时 y′＝αxα－1”得到，即(x)′＝1，(x2)′＝2x，＝－，()′＝.1．给出下列命题：①y＝ln 2，则 y′＝；②y＝，则 y′＝－；③y＝2x，则 y′＝2xln 2；④y＝log2x，则 y′＝.其中正确命题的个数为( )A．1B．2 C．3 D．4C [对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选 C.]2．若函数 f(x)＝(x－1)2，那么 f′(x)＝________.2x－2 [ f(x)＝x2－2x＋1，∴＝＝2x＋Δx－2．故 f′(x)＝lim ＝lim (2x＋Δx－2)＝2x－2．]3．若 f(x)＝10x，则 f′(1)＝________.110ln 10 [f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.]利用导数公式求函数的导数【例 1】 求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.思路探究：首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11．(2)y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝(3x)′＝3xln 3.(4)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与 ln x”，“ax与 logax”，“sin x 与 cos x”的导数区别．1．若 f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则 f′(x)－g′(x)＝__________.3x2－ [ f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.]利用导数公式求函数在某点处的导数【例 2】 质点的运动方程是 s＝sin t，(1)求...
