§5 简单复合函数的求导法则学 习 目 标核 心 素 养1．了解复合函数的概念．(难点)2．掌握复合函数的求导法则．(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点)1．通过对复合函数的求导法则的理解，提升了学生的逻辑推理的核心素养.2．通过运用复合函数求导法则进行求导的学习，培养了学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x 的函数 ，我们称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的复合函数，记作 y ＝ f ( φ ( x )) ，其中 u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f(φ(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′· u x′.即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 ．1．下列函数不是复合函数的是( )A．y＝－x3－＋1 B．y＝cosC．y＝ D．y＝(2x＋3)4A [A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数 u＝x＋，y＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数 u＝ln x，y＝的复合函数，D 中的函数可看作函数 u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选 A.]2．(ln 2x)′等于( )A. B. C. D.B [(ln 2x)′＝(2x)′＝.]3．已知 f(x)＝ln(3x－1)，则 f′(1)＝________. [f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.]复合函数的定义【例 1】 指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u，分别找出 y 和 u 的函数关系，u 和x 的函数关系．[解] (1)y＝(3＋5x)2是由函数 y＝u2，u＝3＋5x 复合而成的．(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数 y＝log3u，u＝x2－2x＋5 复合而成的．(3)y＝cos 3x 是由函数 y＝cos u，u＝3x 复合而成的．1判断复合函数的方法判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次运算而得到的函数．1．指出下列函数由哪些函数复合而成．(1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)．[解] (1)y＝ln u，u＝.(2)y＝eu，u＝sin x.(3)y＝cos u，u＝x＋1．求复合函数的导数...
