第 2 章 变化率与导数导数的定义求导【例 1】 利用导数的定义求函数 y＝的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可．[解] y′＝lim ＝lim ＝lim ＝lim ＝lim ＝.导数定义的理解函数 f(x)在点 x＝x0处的导数是 f(x)在 x0点附近的平均变化率＝；当 Δx 趋于 0 时的极限，即 f′(x0)＝lim ，这是数学上的“逼近思想”．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和 Δx→0 的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设 f(x)在 x 处可导，则lim ＝( )A．2f′(x) B．f′(x)C．f′(x) D．4f′(x)C [lim ＝lim ＝lim ＋lim ＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例 2】 已知函数 f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x0，f(x0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上．1 f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为 y－(－6)＝13(x－2)，即 y＝13x－32．(2)设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，∴直线 l 的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又 直线 l 过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2．∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点 P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又 y1＝f(x1)，②由①②求出 x1，y1的值，即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程．2．已知曲线 y＝.(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点 Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．[解] y＝，∴y′＝－.(1) 点 P(1,1)在 y＝...
