高中数学 第2章 参数方程章末复习课学案 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学学案

第 2 章 参数方程[自我校对]① 圆的参数方程② 椭圆的参数方程③ 代数法④ 平摆线的参数方程⑤ 渐开线的参数方程参数法求动点的轨迹方程满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为轨迹曲线的方程．求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法．其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法．【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P，Q 分别为 BC，CD 上的点，△CPQ 的周长为 2，1(1)求∠PAQ 的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ 的重心的轨迹．[精彩点拨] (1)利用平面图形的性质，先求 tan PAQ 再求角；(2)建系后把重心坐标用参数 θ(θ＝∠BOP)表示，消参即得轨迹方程．[尝试解答] (1)设 BP＝p，DQ＝q，∠BAP＝α，∠DAQ＝β，其中 0＜p＜1,0＜q＜1，α，β∈，则 tan α＝p，tan β＝q，∴tan(α＋β)＝，又(1－p)＋(1－q)＋＝2，∴(1－p)2＋(1－q)2＝(p＋q)2，∴1－pq＝p＋q，∴tan(α＋β)＝1.又 0＜α＋β＜，∴α＋β＝，∴∠PAQ＝.(2)以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立直角坐标系，如图．设∠BOP＝θ，由(1)得，∠BOQ＝＋θ，其中 0＜θ＜.∴P 点的坐标为(1，tan θ)，Q 点的坐标为，又设△APQ 的重心为 G(x，y)，由重心坐标公式得：(θ 为参数)，消去参数 θ，得 y＝.又 0＜θ＜，∴0＜tan θ＜1，∴＜x＜，＜y＜，∴△APQ 的重心 G 的轨迹是双曲线 xy＝在第一象限内的一部分．1．已知动点 P，Q 都在曲线 C：(β 为参数)上，对应参数分别为 β＝α 与 β＝2α(0<α<2π)，M 为 PQ 的中点．(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．[解] (1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为(α 为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标顶点的距离d＝＝(0<α<2π)．当 α＝π 时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．直线的参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这2类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．【例 ...