第 1 章 空间几何体空间几何体的结构特征【例 1】 (1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个(1)A (2)D [(1)① 若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．(2)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，取四棱锥 A1ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1．棱台上、下底面面积分别为 16，81，有一平行于底面的截面，其面积为 36，则截面截得两棱台高的比为( )A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4C [将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为 h，两棱台的高分别为 x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得 x2＝h. 故＝.]空间几何体的表面积与体积【例 2】 如图所示的三棱锥 OABC 为长方体的一角．其中 OA，OB，OC 两两垂直，三个侧面 OAB，OAC，OBC 的面积分别为 1.5 cm2， 1 cm2， 3 cm2，求三棱锥 OABC 的体积．[解] 设 OA，OB，OC 的长依次为 x cm，y cm，z cm，则由已知可得 xy＝1.5，xz＝1，yz＝3.解得 x＝1，y＝3，z＝2.将三棱锥 OABC 看成以 C 为顶点，以 OAB 为底面．易知 OC 为三棱锥 COAB 的高．于是 VOABC＝VCOAB＝S△OAB·OC＝×1.5×2＝1(cm3)．空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．2．如图①所示，...
