高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算学案（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二第一册数学学案

1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算 学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图 1 图 2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图 2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：① 几何表示法：空间向量用有向线段表示；② 字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作：AB，其模记为| a | 或| AB | .2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a 的相反向量：－ a AB的相反向量：BA相等向量相同相等a＝b3.空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法OB＝OA ＋ OC ＝a＋b减法CA＝OA － OC ＝a－b加法运算律① 交换律：a＋b＝b ＋ a ② 结合律：(a＋b)＋c＝a ＋ ( b ＋ c ) (2)空间向量的数乘运算① 定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0；λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．② 运算律a．结合律：λ(μa)＝μ (λ a ) ＝(λ μ ) a .b．分配律：(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ，λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 a，都有 0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ使 a ＝ λ b .(4)如图...