1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量学 习 目 标核 心 素 养1．了解空间中的点与空间向量的关系．2．理解直线的方向向量．(重点)3．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．(重点、难点)4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点)5．理解公垂线段的概念并会求其长度．1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养．2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养．在如图所示的正方体中，怎样借助空间向量来描述 A、B、C、D 在空间中是不同的点？如何借助空间向量来描述直线 AD 与 A1D1，AD 与 BB1以及 AD 与 AA1的位置关系？怎样借助空间向量来求 BC1与 BD1所成的角？1．空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点 O，那么空间中任意一点 P 的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点 P 的位置向量．提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．2．空间中的直线与空间向量一般地，如果 l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合，则称 v 为直线 l 的一个方向向量．此时，也称向量 v 与直线 l平行，记作 v ∥ l ．(1)如果 A、B 是直线 l 上两个不同的点，则 v＝AB，即为直线 l 的一个方向向量．思考 1：直线 l 的方向向量唯一吗？直线 l 的方向向量之间有怎样的关系？[提示] 直线 l 的方向向量不唯一，若 v 为直线的方向向量，则 λv(λ≠0)也为直线 l的方向向量，直线 l 的任意两个方向向量都平行．思考 2：空间中的直线 l 的位置由 v 能确定吗？[提示] 空间中直线 l 的位置可由 v 和直线上的一个点唯一确定．(2)如果 v1是直线 l1的一个方向向量，v2是直线 l2的一个方向向量，则 v1∥v2⇔l1∥ l 2 或l1 与 l 2 重合．3．空间中两条直线所成的角(1)设 v1、v2分别是空间中直线 l1，l2的方向向量，且 l1与 l2所成角的大小为 θ，则 θ＝ 〈 v 1 ， v 2 〉 或 θ ＝ π － 〈 v 1 ， v 2 〉 ， 所 以 sin θ ＝ sin 〈 v 1 ， v 2 〉 ， cos θ ＝ |cos 〈 v 1， v 2〉 | ．(2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥ l 2⇔v1·v2＝0．4．异面直线与空间向量设 v1，v2分别是空间中直线 l1与 l2的方向向量．(1)若 l1与 l2...
