高中数学 第2章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集学案（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集学 习 目 标核 心 素 养1．理解且会运用等式的性质．(重点)2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)3．会求方程的解集．(重点)1．借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养．有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了 2和 5 可以相等，我这里有一个方程 5x－2＝2x－2.等式两边同时加上 2，得 5x－2＋2＝2x－2＋2，即 5x＝2x，①等式两边同时除以 x，得 5＝2，②”老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？问题 如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．1．等式的性质性质(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立．用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a±c＝b ± c ．性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为 0)，等式仍成立．用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a×c＝b × c ，a÷c＝b ÷ c (c≠0).2．恒等式(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．(2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋( a ＋ b ) x ＋ab．(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；② 利用公式 acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．思考 1：十字相乘法分解因式的关键是什么？[提示] 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．[拓展] 常用的乘法公式类恒等式(1)ac＋ab＝a(b＋c)；(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(4)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(5)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；(6)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．思考 2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？[提示] 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)计算(2a＋5)(2a－5)...