第 2 章[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究]空间点、线、面位置关系的判断与证明【例 1】 如图所示，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面 BDE；(2)求证：CF⊥平面 BDE. [证明] (1)设 AC 与 BD 交于点 O，连接 EO，如图所示， EF∥AC，且 EF＝1，AO＝AC＝1，∴四边形 AOEF 为平行四边形，∴AF∥OE. OE⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE，∴AF∥平面 BDE.(2)连接 FO，如图所示． EF∥CO，EF＝CO＝1，且 CE＝1，∴四边形 CEFO 为菱形，∴CF⊥EO. 四边形 ABCD 为正方形，∴BD⊥AC.又平面 ACEF⊥平面 ABCD，且平面 ACEF∩平面 ABCD＝AC，∴BD⊥平面 ACEF，∴CF⊥BD.又 BD∩EO＝O，∴CF⊥平面 BDE.空间平行、垂直关系的转化：(1)平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点① 由已知想性质，由求证想判定．② 适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．③ 用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．1．如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1的中点．求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1；(2)直线 A1F∥平面 ADE.[证明] (1)因为 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC.又 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.又因为 AD⊥DE，CC1，DE⊂平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD⊂平面 ADE，所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1的中点，所以 A1F⊥B1C1.因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F⊂平面 A1B1C1，所以 CC1⊥A1F.又因为 CC1，B1C1⊂平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以 A1F⊥平面 BCC1B1.由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD.又 AD⊂平面 ADE，A1F⊄平面 ADE，所以 A1F∥平面 ADE.空间角的计算问题【例 2】 如图，正方体的棱长为 1，B′C∩BC′＝O，求： (1)AO 与 A′C′所成角的度数；(2)AO 与平面 ABCD 所成角的正切值；(3)平面 AOB 与平面 AOC 所成角的度数．[解] (1) A′C′∥AC，∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC. AB⊥平面 BC′，OC⊂平面 BC′，∴OC⊥AB，又 OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面 ABO.又 OA⊂平面 ABO，∴OC⊥OA.在 Rt△AOC 中，OC＝，AC＝，sin ∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°.(2)如图...
