一 二维形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)教材整理 二维形式的柯西不等式阅读教材 P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 当且仅当 ad ＝ bc 时，等号成立向量形式设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝ k β 时，等号成立三角形式设 x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) ， O (0,0) 三点共 线且 P 1， P 2 在点 O 两旁 时，等号成立已知 x＋y＝1，那么 2x2＋3y2的最小值是( )A. B. C. D.B [2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.]二维柯西不等式的向量形式及应用【例 1】 已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.[精彩点拨] 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．＝·＝.又 (p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴≤p2＋q2≤，∴≤·，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝对数学式子变形的影响．1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？1[解] 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)，则 p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·.又 p2＋q2＝2.∴p＋q≤·＝2.故仍有结论 p＋q≤2 成立.运用柯西不等式求最值【例 2】 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2的最小值．[精彩点拨] 由 2x＋3y＝1 以及 4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[自主解答] 由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥，当且仅当 2x×1＝3y×1，即 x＝，y＝时取等号．∴4x2＋9y2的最小值为.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．2．若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2的最小值及最小值点．[解] 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2＋y2)≥4.所以 x2＋y2≥，当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小...
