3．1 基本不等式学 习 目 标核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)1．通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养．2．通过基本不等式的应用，提升数学运算素养．1．基本不等式阅读教材 P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．(1)基本不等式如果 a，b 都是非负数，那么≥，当且仅当 a＝b 时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．(2)基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)意义① 几何意义：半径不小于半弦．② 数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．思考：(1)不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？[提示] 成立，证明如下：由 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知 a2＋b2≥2ab．(2)当 x，y 满足什么条件时，≥？[提示] 当 lg x≥0，且 lg y≥0，即 x≥1，且 y≥1 时，不等式成立．2．基本不等式的证明一般地，对于任意实数 a，b，我们有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．特别地，如果 a>0，b>0，我们用，分别代替 a，b 可得 a＋b≥2，通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)．下面我们来证明一下：要证 ≥，①只要证 a ＋ b ≥2 ，②要证②只要证 a ＋ b － 2≥0 ，③要证③只要证( － ) 2 ≥0 ，④显然④成立，当且仅当 a ＝ b 时④中的等号成立．1．给出下列条件：① ab＞0；② ab＜0；③ a＞0，b＞0；④ a＜0，b＜0，其中能使＋≥2 成立的条件有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个C [当，均为正数时，＋≥2，故只须 a、b 同号即可，∴①③④均可以．]2．不等式 x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是 ．x＝4 [由 a＋b≥2(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是 a＝b 知 x＝4．]3．比较大小： x．≥ [在不等式≥ab 中令 a＝x，b＝，可得≥x，当 x＝时等号成立．]4．设常数 a>0，若 9x＋≥a＋1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围是 ． [由题意知，当 x>0 时，ƒ(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1⇒a≥．]利用基本不等式比较大小【例 1】 已知 0
0，b>0，所以 a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为 a...
