高中数学 第3章 不等式 3.2 基本不等式与最大（小）值学案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

3．2 基本不等式与最大(小)值学 习 目 标核 心 素 养1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．不等式与最大(小)值阅读教材 P90～P91“例 2”以上部分，完成下列问题．当 x，y 都为正数时，下面的命题成立(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2．思考：(1) 函数 y＝x＋的最小值是 2 吗？[提示] 不是，只有当 x＞0 时，才有 x＋≥2，当 x＜0 时，没有最小值．(2)设 a＞0,2a＋取得最小值时，a 的值是什么？[提示] 2a＋≥2＝2，当且仅当 2a＝，即 a＝时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为 4 的函数是( )A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81C [A 中 x＝－1 时，y＝－5＜4，B 中 y＝4 时，sin x＝2，D 中 x 与 1 的关系不确定，选C．]2．当 x<0 时，x＋的最大值为 ．－6 [因为 x<0，所以 x＋＝－(－x)＋≤－2＝－6，当且仅当(－x)＝，即 x＝－3 时等号成立．]3．当 x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为 ． [因为 x∈(0,1)，所以 1－x＞0，故 x(1－x)≤＝，当 x＝1－x，即 x＝时等号成立．]4．若点 A(－2，－1)在直线 mx＋ny＋1＝0 上，其中 mn>0，则＋的最小值为 ．8 [由已知点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0 上所以 2m＋n＝1，所以＋＝＋＝4＋≥8．]利用基本不等式求最值【例 1】 (1)已知 x>2，则 y＝x＋的最小值为 ．(2)若 02，所以 x－2>0，所以 y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，等号成立．所以 y＝x＋的最小值为 6．(2)因为 00，所以 y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝，当且仅当 2x＝1－2x，即当 x＝时，ymax＝．]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件.[跟进训练]1．(1)已知 t>0，则函数 y＝的最小值为 ．(2)设 0