函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]函数图象的应用【例 1】 已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝f(2－x)，当 x∈[0，1]时，f(x)＝x.求 x∈[－3，5]时，f(x)＝的所有解的和．[解] 当 x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，∴f(－x)＝－x.又 f(x)为奇函数，∴x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.即 x∈[－1，1]时，f(x)＝x.又由 f(x)＝f(2－x)可得 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．由此可得 f(x)在[－3，5]上的图象如下：在同一坐标系内画出 y＝的图象，由图可知在[－3，5]上共有四个交点，∴f(x)＝在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为 x1，x2，x3，x4，则 x1与 x4，x2与 x3关于直线 x＝1 对称，∴＝1，＝1.∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．1．已知函数 f(x)＝|x2－mx＋3|，且 f＝0.(1)求 m 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(3)求集合 M＝{m|使方程 f(x)＝m 有四个不相等的实根}．[解] (1)由 f＝0，得＝0，解得 m＝4.∴f(x)＝作出图象如图所示．(2)递增区间为[1，2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)和(2，3).(3)由图象可知，y＝f(x)与 y ＝m 图象，有四个不同的交点，则 0＜m＜1，∴集合 M＝{m|0＜m＜1}．函数性质的应用【例 2】 已知函数 f(x)对任意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值；(3)解不等式 f(x)－f(－x)>2.[解] (1)证明：由 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，可得f(x＋y)－f(x)＝f(y).在 R 上任取 x1>x2，令 x＋y＝x1，x＝x2，则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2). x1>x2，∴x1－x2>0.又 x>0 时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)－f(x2)<0.由定义可知 f(x)在 R 上是减函数．(2) f(x)在 R 上是减函数；∴f(x)在[－3，3]上也是减函数；∴f(－3)最大，f(3)最小．又 f(1)＝－，∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.即 f(x)在[－3，3]上的最大值为 2，最小值为－2.(3)由(2)知 f(－3)＝2，f(x)－f(－x)>2，即 f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，由(1)知 f(x)在 R 上为减函数，∴f(x)>f(－3－x)，得 x<－3－x，解得解集为.(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就...
