高中数学 第1章 立体几何初步 1-6-1-2 平面与平面垂直的判定学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

二 平面与平面垂直的判定1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱．这两个半平面叫作二面角的面．以直线 AB 为棱、半平面 α，β 为面的二面角，记作二面角α － AB － β (如图①)． (2)以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图②中的∠AOB.平面角是直角的二面角叫作直二面角．2．平面与平面的垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法记作：α ⊥ β .(3)平面和平面垂直的判定定理 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角．( )(2)异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．( )(3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角．( )(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√题型一二面角的概念及求法【典例 1】 四边形 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB.(1)求二面角 A－PD－C 平面角的度数；(2)求二面角 B－PA－D 平面角的度数；(3)求二面角 B－PA－C 平面角的度数．[思路导引] 根据二面角的平面角的定义，先找出二面角的平面角，然后放在三角形中求角．[解] (1) PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥CD.又四边形 ABCD 为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面 PAD.又 CD平面 PCD，∴平面 PAD⊥平面 PCD.∴二面角 A－PD－C 平面角的度数为 90°.(2) PA⊥平面 ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD 为二面角 B－PA－D 的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角 B－PA－D 平面角的度数为 90°.(3) PA⊥平面 ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC 为二面角 B－PA－C 的平面角．又四边形 ABCD 为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角 B－PA－C 平面角的度数为 45°.(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．(2)求二面角的方法①(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)所示，∠AOB 为二面角 α－a－β 的平面角．②(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)所示，∠AFE 为...