高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3．1.2 空间向量的基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点)3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.1.通过共线、共面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2.借助空间向量分解定理及任一空间向量可用一组基向量线性表示提升数学运算素养.1．共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理 两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 x ，使 a＝xb.(2)向量共面的条件① 向量 a 平行于平面 α 的定义已知向量 a，作OA＝a，如果 a 的基线 OA 平行于平面 α 或在 α 内 ，则就说向量 a 平行于平面 α，记作 a ∥ α . ② 共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量．③ 共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ， y ，使 c ＝ xa ＋ yb . 2．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x ， y ， z ，使 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc . (2)基底 如果三个向量 a，b，c 是三个不共面的向量，则 a，b，c 的线性组合 xa ＋ yb ＋ zc 能生成所有的空间向量，这时 a，b，c 叫做空间的一个基底，记作{ a ， b ， c } ，其中 a，b，c 都叫做基向量．表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表示式或线性组合．1．对于空间的任意三个向量 a，b,2a－b，它们一定是( )A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量[答案] A12．给出的下列几个命题：① 向量 a，b，c 共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使 c＝xa＋yb；② 零向量的方向是任意的；③ 若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb. 其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3B [只有②为真命题．]3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得 xa＋yb＋zc＝0，则 x，y，z 满足的条件是________．x＝y＝z＝0 [若 x≠0，则 a＝－b＋c，即 a 与 b，c 共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知 a，b，c 不共面，故 x＝0，同理 y＝z＝0.]向量共线问题【例 1】 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D...