第 2 章 几个重要的不等式[自我校对]① 一般形式的柯西不等式 ②排序不等式 ③逆序和④ 乱序和 ⑤原理 ⑥贝努利不等式柯西不等式的应用柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．【例 1】 已知 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4
[精彩点拨] 根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|m·n|2≤|m|2·|n|2证明．[自主解答] 因为 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，令m＝(，，)，n＝(1,1,1)．则|m·n|2＝(＋＋)2，|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48
|m·n|2≤|m|2·|n|2，∴(＋＋)2≤48，∴＋＋≤4
1．设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：＋≥
1[证明] 因为 a，b，x，y 都是正数，x＋y＝a＋b，由柯西不等式可知(a＋x＋b＋y)≥＝(a＋b)2
又 a＋x＋b＋y＝2(a＋b)．所以＋≥＝
利用排序不等式证明不等式应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例 2】 已知 a，b，c 为正数，求证：a＋b＋c≤＋＋
[精彩点拨] 本题属于左 3 项右 3 项的类型，虽然 a，b，c 没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设 a≥b≥c，再利用定理证明．[自主解答] 由于不等式关于 a，b，c 对称，可设 a≥b≥c>0
于是 a2≥b2≥c2，≥≥
由排序不等式，得a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，及 a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·
以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原式中的不等式．2．设 a
