高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

1．2.2 同角三角函数的基本关系 [教材研读]预习课本 P18～20，思考以下问题1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？ 2．已知 sinα，cosα 和 tanα 其中的一个值，如何求其余两个值？ [要点梳理] 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝_1_.(2)商数关系：tan α ＝.这就是说，同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于__1__，商等于角 α 的正切(α≠kπ＋，k∈Z)．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．对任意角 α，sin2＋cos2＝1 都成立．( )2．对任意角 α，＝tan2α 都成立．( )3．若 cosα＝0，则 sinα＝1.( )[答案] 1.√ 2.× 3.×思考：如何理解同角三角函数基本关系式？提示：(1)同角三角函数的基本关系式仅当 α 的值使等式两边都有意义时才能成立．(2)在应用平方关系式求 sinα 或 cosα 时，其正负号是由角 α 所在的象限决定的．(3)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角 (在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1. (1)已知 sinα＝，并且 α 是第二象限角，求 cosα 和 tanα.(2)已知 sinα＋2cosα＝0，求 2sinαcosα－cos2α 的值．[思路导引] 利用三角函数基本关系式求解．注意角的范围．[解] (1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又 α 是第二象限角，所以 cosα<0，cosα＝－，tanα＝＝－.(2)由 sinα＋2cosα＝0，得 tanα＝－2.所以 2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.(1)求三角函数值的方法① 已知 sinθ(或 cosθ)求 tanθ 常用以下方式求解② 已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用以下方式求解当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 θ 分区间(象限)讨论．(2)已知角 α 的正切求关于 sinα，cosα 的齐次式的方法① 关于 sinα，cosα 的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sinα，cosα 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cosα 的 n 次幂，其式子可化为关于 tanα 的式子，再代入求值．② 若无分母时，把分母看作 1，并将 1 用 sin2α＋cos2α 来代换，将分子、分母同除以 cos2α，可化为关于 tanα 的式子，再代入求值．【温馨提示】 sin2α 是(sinα)2的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 ...