1.2.2 同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过利用单位圆推导出同角三角函数的基本关系式，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升学生的运算能力.1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1.思考：对任意的角 α，sin22α＋cos22α＝1 是否成立？[提示] 成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．2．商数关系(1)公式：＝tan α .(2)语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的商等于角 α 的正切 ．平方关系公式的推导如图，设 P(x，y)根据单位圆中三角函数定义知，sin α＝y，cos α＝x，在 Rt△OPM中，OM 2 ＋ MP 2 ＝1，因此 x 2 ＋ y 2 ＝1，即 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝1.1．化简的结果是( )A．cos B．－cosC．sin D．－sinA [＝＝＝cos.]2．若 sin α＝，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于( )A．－ B.C．± D．±A [ sin α＝且 α 是第二象限角，∴cos α＝－ ＝－，∴tan α＝＝－.]3．已知 tan α＝，且 α∈，则 sin α 的值是 ．－ [由 tan α＝得＝，即 cos α＝2sin α.又 sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，∴sin α＝±，又 α∈，∴sin α＝－.]4．已知＝2，则 sin αcos α 的值为 ． [由已知得＝2，解得 tan α＝3，∴sin αcos α＝＝＝＝.]知一求二【例 1】 (1)已知 α∈，tan α＝2，则 cos α＝ .(2)已知 cos α＝－，求 sin α，tan α 的值．思路点拨：(1)根据 tan α＝2 和 sin2α＋cos2α＝1 列方程组求 cos α.(2)先由已知条件判断角 α 是第几象限角，再分类讨论求 sin α，tan α.(1)－ [由已知得由①得 sin α＝2cos α 代入②得 4cos2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝，又 α∈，所以 cos α＜0，所以 cos α＝－.](2)[解] cos α＝－＜0，∴α 是第二或第三象限的角．如果 α 是第二象限角，那么sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.如果 α 是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值，要注意公...
