第 3 章 不等式[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究]三个二次间的关系【例 1】 设关于 x 的一元二次方程 ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根 x1，x2，求证：x1<－1 且 x2<－1．[证明] 令 f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，由 Δ＝1－4a≥0，得 0<2a≤，∴－≤－2<－1，∴抛物线 f(x)的对称轴 x＝－在直线 x＝－1 的左侧，∴函数 f(x)的图像与 x 轴交点中左侧的一个在直线 x＝－1 的左侧．又 f(－1)＝a－1＋1＝a>0，∴交点中右侧的那个也在直线 x＝－1 的左侧．而函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标分别为方程 ax2＋x＋1＝0 的两根 x1，x2，∴x1<－1 且x2<－1．对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x 轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数二次方程的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根相应的二次函数的图像及与 x 轴的交点.[跟进训练]1．若关于 x 的不等式 ax2－6x＋a2<0 的解集是(1，m)，则 m＝ ．2 [因为 ax2－6x2＋a2<0 的解集是(1，m)，所以 1，m 是方程 ax2－6x＋a2＝0 的根，且 m>1⇒⇒]不等式的恒成立问题【例 2】 已知不等式 mx2－mx－1<0．(1)若 x∈R 时不等式恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若 x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)若满足|m|≤2 的一切 m 的值能使不等式恒成立，求实数 x 的取值范围．[解] (1)① 若 m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；② 若 m≠0，则不等式 mx2－mx－1<0 恒成立⇔解得－40 时，若对于 x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得 m<，∴0
