高中数学 第1章 立体几何初步 第三节 空间几何体的表面积和体积学案 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学学案

几何体的有关计算问题【考点精讲】1. 表面积公式（1）圆柱：如果圆柱的底面半径为，母线长为 ，那么圆柱的底面积为，侧面积为。表面积为。（2）圆锥：如果圆锥的底面半径为，母线长为 ，那么圆锥的底面积为 S 底＝，侧面积为 S 侧＝，表面积 S 表＝＋。（3）圆台：圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为 ，，＝，则其侧面积为 S 侧＝，表面积为。（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系。2. 体积公式（1）柱体：柱体的底面积为，高为，则。（2）锥体：锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的。即。（3）台体：台体的上、下底面积分别为 S′、S，高为 h，则 V＝（S′＋＋S）h。（4）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：【典例精析】例题 1 如图 1，∠ACB＝45°，，过动点 A 作，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿将△折起，使∠BDC＝90°（如图 2 所示）。当的长为多少时，三棱锥的体积最大。思路导航：本题考查立体几何线面的基本关系，及如何取到最值，用均值不等式求最值。答案：在如图 1 所示的△中，设，则。由，∠ACB＝45°知，△为等腰直角三角形，所以。由折起前知，折起后（如图 2），，，且， 所以平面。又∠BDC＝90°，所以。于是 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当，即时，三棱锥的体积最大。例题 2 如下图所示，在长方体中，截下一个棱锥 C—，求棱锥 C－的体积与剩余部分的体积之比。思路导航：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥体积的差来求得剩余部分的体积。答案：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面的面积为 S，高为，则它的体积为。而棱锥 C－A′DD′的底面积为高为，故棱锥 C－A′DD′的体积为。余下的体积是。所以棱锥 C－A′DD′的体积与剩下部分的体积之比为。随堂练习：正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点。则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为（ ）A.1:1 B.1:2 C.2:1 D. 3:2 解析：由于 G 是 PB 的中点，故 P-GAC 的体积等于 B-GAC 的体积，于是可以求出 D-GAC的体积=2B-GAC 的体积=2P-GAC 的体积。故答案选 C。【总结提升】求几何体的体积问题：（1）计算柱体、锥体、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题。（2）利用等积法求体积，也可称为转换法，通过选择合适的底面来求体积的一种方法。（3）在...